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第三章 動力分析方法 71第三章 動力分析方法 C3.1 通則 對不規則性橋梁而言，其動力特性較為複雜，應根據動力分析結果方可求得較準確之地震力分布。 形狀規則橋梁之要求可參考表C3-1 所列[C3.1]。所謂不規則性包括質量、勁度、幾何等之不規則性。本節所條列的八種條件中，第1 及4 項所涉及者均為上述的不規則性。其中第1 項中謂及橋墩土層情況變異性大者，係指如某橋墩坐落於良好地盤，另一橋墩坐落於軟弱地盤，則其基礎等值勁度就會有差異，故亦可視為勁度不規則的一種。此八種條件係參照日本道路協會（2012）『道路橋示方書.V 耐震設計編』[C3.2]、美國AASHTO 規範[C3.3]及加州公路局橋梁設計規範[C3.4]等所擬定。 在大地震下橋梁進入非線性時，長週期或高橋墩橋梁之穩定性較短週期或低橋墩之橋梁具有較高的危險性，因此應依動力分析法進行檢核，以掌握較正確的內力分布，使橋體產生塑鉸的時機較為一致，提高其耐震能力。本規範對於長週期或高橋墩橋梁之定義，係根據日本道路協會『道路橋示方書.V 耐震設計編』中之建議，取週期1.5 秒以上者為長週期橋梁，橋墩高30 公尺以上者為高橋墩橋梁。 未曾受強烈地震考驗之新型橋梁，其耐震行為之弱點較不易掌握，故應進行動力分析，以便掌握較真實之地震反應。 架橋地點之土層極端軟弱者，地震分析之基面需降至此土層下緣，並進行動力分析與設計，以提高其安全性。 斜橋係極不規則的橋梁，必須以動力分析方法進行分析。斜橋因結構的不對稱性，較難研判兩個主要的振動方向，因此，進行動力分析時，除須包括橋梁的軸向及橫向兩個地震輸入的方向外，並應考量橋台、橋墩配置方向之變異性，多選擇幾個地震力輸入方向進行動力分析。 動力分析所得之水平地震力，一般會低於靜力分析所得者。為提高橋梁的耐震安全性，對於形狀規則且不需採用動力分析之橋梁，亦可採用動力分析進行結
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第三章 動力分析方法C3.1 通則對不規則性橋梁而言，其動力特性較為複雜，應根據動力分析結果方可求得較準確之地震力分布。
形狀規則橋梁之要求可參考表C3-1 所列[C3.1]。所謂不規則性包括質量、勁度、幾何等之不規則性。本節所條列的八種條件中，第1 及4 項所涉及者均為上述的不規則性。其中第1 項中謂及橋墩土層情況變異性大者，係指如某橋墩坐落於良好地盤，另一橋墩坐落於軟弱地盤，則其基礎等值勁度就會有差異，故亦可視為勁度不規則的一種。此八種條件係參照日本道路協會（2012）『道路橋示方書.V 耐震設計編』[C3.2]、美國AASHTO 規範[C3.3]及加州公路局橋梁設計規範[C3.4]等所擬定。
在大地震下橋梁進入非線性時，長週期或高橋墩橋梁之穩定性較短週期或低橋墩之橋梁具有較高的危險性，因此應依動力分析法進行檢核，以掌握較正確的內力分布，使橋體產生塑鉸的時機較為一致，提高其耐震能力。本規範對於長週期或高橋墩橋梁之定義，係根據日本道路協會『道路橋示方書.V 耐震設計編』
中之建議，取週期1.5 秒以上者為長週期橋梁，橋墩高30 公尺以上者為高橋墩橋梁。
未曾受強烈地震考驗之新型橋梁，其耐震行為之弱點較不易掌握，故應進行動力分析，以便掌握較真實之地震反應。
架橋地點之土層極端軟弱者，地震分析之基面需降至此土層下緣，並進行動力分析與設計，以提高其安全性。
斜橋係極不規則的橋梁，必須以動力分析方法進行分析。斜橋因結構的不對稱性，較難研判兩個主要的振動方向，因此，進行動力分析時，除須包括橋梁的軸向及橫向兩個地震輸入的方向外，並應考量橋台、橋墩配置方向之變異性，多選擇幾個地震力輸入方向進行動力分析。
動力分析所得之水平地震力，一般會低於靜力分析所得者。為提高橋梁的耐震安全性，對於形狀規則且不需採用動力分析之橋梁，亦可採用動力分析進行結
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公路橋梁耐震設計規範解說 72構分析與設計，但若動力分析採反應譜分析法，所得水平地震力若低於靜力分析所得者之80%，宜調整動力分析之水平地震力不得小於靜力分析所得值之80%；對於需進行動力分析之橋梁，若反應譜動力分析所得水平地震力低於靜力分析所得者之90%，宜調整動力分析之水平地震力不得小於靜力分析所得值之90%；至於計算靜力分析之水平地震力時，橋梁之週期可採用動力分析所得之週期值。 動力分析時，橋梁結構模擬之原則與靜力分析模擬原則相似。有關幾何形狀、質量分布、構材斷面性質及基礎之模擬詳見第C2.3 節第11 點說明。 由於不規則性橋梁軸向與橫向間有交互作用，因此應以三度空間結構模擬。靜力分析適用於規則性橋梁，原則上仍應儘量以三度空間結構模擬。 C3.2 譜加速度係數之阻尼比調整係數 阻尼比異於5%時之阻尼比修正係數BS 與B1(如表3-1)，係參照美國IBC2000[C3.5]及ATC-32[C3.6]之規定略加調整而訂定。基礎土壤互制等值彈簧之阻尼比應考慮土壤材料阻尼與輻射阻尼，並依可信理論計算。整個系統之複合振態阻尼比可依下式計算： {}[]{}{}[]{}JTJiiJTJnJKkφφξφφξ∑==1 (C3-1) 其中： Jξ ：第J 個振態之複合振態阻尼比 [K] ：整個系統之勁度矩陣 []ik ：第 個構材之勁度矩陣 {}Jφ ：第J 個振態之振態形狀向量 {}iJφ ：第 個構材在第J 個振態所對應自由度之振態形狀向量 iξ ：第 個構材的阻尼比 求得整個系統之複合振態阻尼比後，並依此阻尼比配合表3-1 中所列之阻尼比修正係數，再配合表3-2 至表3-3 求算對應之水平譜加速度係數。
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公路橋梁耐震設計規範解說構分析與設計，但若動力分析採反應譜分析法，所得水平地震力若低於靜力分析所得者之80%，宜調整動力分析之水平地震力不得小於靜力分析所得值之80%；
對於需進行動力分析之橋梁，若反應譜動力分析所得水平地震力低於靜力分析所得者之90%，宜調整動力分析之水平地震力不得小於靜力分析所得值之90%；
至於計算靜力分析之水平地震力時，橋梁之週期可採用動力分析所得之週期值。
動力分析時，橋梁結構模擬之原則與靜力分析模擬原則相似。有關幾何形狀、
質量分布、構材斷面性質及基礎之模擬詳見第C2.3 節第11 點說明。
由於不規則性橋梁軸向與橫向間有交互作用，因此應以三度空間結構模擬。
靜力分析適用於規則性橋梁，原則上仍應儘量以三度空間結構模擬。
C3.2 譜加速度係數之阻尼比調整係數阻尼比異於5%時之阻尼比修正係數BS 與B1(如表3-1)，係參照美國IBC2000[C3.5]及ATC-32[C3.6]之規定略加調整而訂定。基礎土壤互制等值彈簧之阻尼比應考慮土壤材料阻尼與輻射阻尼，並依可信理論計算。整個系統之複合振態阻尼比可依下式計算：
其中：
Jξ：第J 個振態之複合振態阻尼比[K]：整個系統之勁度矩陣[]ik ：第i 個構材之勁度矩陣{}Jφ：第J 個振態之振態形狀向量{}iJφ：第i 個構材在第J 個振態所對應自由度之振態形狀向量iξ：第i 個構材的阻尼比求得整個系統之複合振態阻尼比後，並依此阻尼比配合表3-1 中所列之阻尼比修正係數，再配合表3-2 至表3-3 求算對應之水平譜加速度係數。
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第三章 動力分析方法 73C3.3 反應譜分析法 多振態反應譜疊加法係以一線性動力分析程式進行。首先須作特徵值分析，現已有相當多之分析軟體可以進行下述之特徵值分析： [][](){}{}0ˆ 2=−Vmkω (C3-2) 其中[]k 和[]m 為橋梁之勁度和質量矩陣，含有n個自由度，{}Vˆ 表特徵向量，而ω則為對應之圓周頻率。此式之分析結果可以得n個圓周頻率1ω，2ω，...nω及對應之振態{}1φ、{}2φ、....，{}nφ。至於振態週期則為： )....,,2,1(2nTii==ωπ (C3-3) 考慮一具有n個自由度之結構，當此一結構受到一水平地表加速度()Vg&&之作用時，可寫出下列之運動方程式： [](){}[](){}[](){}[]{}()tVBmvkvcvmg&&&−=++ (C3-4) 其中[]c 表阻尼矩陣，{}B 為一向量，其值為地表加速度()Vg&&之方向與各自由度間夾角的餘弦值。為方便計，吾人定義振態矩陣[]Φ 為 []{}{}{}[]nφφφ...Φ21= (C3-5) 此時，可將位移向量{})(v表為特徵向量之線性組合，如下所示： (){}[](){}tYvΦ= (C3-6) 將(C3-6)式代入(C3-4)式，並將後者之兩邊乘以[]TΦ，可得： [](){}[](){}[](){}(){}tPYKYCYM=++&&& (C3-7) 其中 [][][][]ΦΦmMT=：廣義質量矩陣 [][][][]ΦΦcCT=：廣義阻尼矩陣 [][][][]ΦΦkKT=：廣義勁度矩陣 (){}tP=-[][]{}()VBmgT&&Φ ：廣義荷載向量 由於特徵向量對[]m 和[]k 矩陣具有正交性，因此實際上[]M 和[]K 為對角矩陣。假
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第三章 動力分析方法C3.3 反應譜分析法多振態反應譜疊加法係以一線性動力分析程式進行。首先須作特徵值分析，現已有相當多之分析軟體可以進行下述之特徵值分析：
其中[]k 和[]m 為橋梁之勁度和質量矩陣，含有n個自由度，{}Vˆ 表特徵向量，而ω則為對應之圓周頻率。此式之分析結果可以得n個圓周頻率
ω，
ω，...
ω及對應之振態{}1、{}2、....，{}n。至於振態週期則為：
考慮一具有n個自由度之結構，當此一結構受到一水平地表加速度
Vg&&之作用時，可寫出下列之運動方程式：
其中[]c 表阻尼矩陣，{}B 為一向量，其值為地表加速度()tVg&&之方向與各自由度間夾角的餘弦值。為方便計，吾人定義振態矩陣[]Φ 為nφφφ21此時，可將位移向量{})
(tv表為特徵向量之線性組合，如下所示：
}[]()
v
(C3-6)
將(C3-6)式代入(C3-4)式，並將後者之兩邊乘以[]，可得：
{tY其中：廣義質量矩陣：廣義阻尼矩陣Φ=：廣義勁度矩陣()
{}t()t：廣義荷載向量由於特徵向量對[]m 和[]k 矩陣具有正交性，因此實際上[]M 和[]K 為對角矩陣。假
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公路橋梁耐震設計規範解說 74若阻尼矩陣與質量及勁度成正比，即 [][][]kmc21αα+= (C3-8) 則[]C 亦將變為對角矩陣。上式中之1α與2α為常係數，有關此二係數之設定，可由一般結構動力相關書籍查獲而得。 由於[]M ，[]C 和[]K 俱為對角矩陣，因此(C3-7)式代表n個互不相關之方程式： ()()()())...,,2,1(nPYKYCYMiiiiiii==++&&& (C3-9) 上式為第 振態之運動方程式，該式之形式與單自由度系統完全相同，此處 [][][]iTiimMΦΦ= (C3-10) [][][]iTiicCΦΦ= (C3-11) [][][]iTiikKΦΦ= (C3-12) 另外，亦可以阻尼比iξ和圓周頻率iω來表示iC 和iK ，即 iiiiMCωξ2= (C3-13) iiiMK2ω= (C3-14) 此時，可將(C3-9)式改寫成 ()()()())....,,2,1(22nMPYYYi==++ωξω&&& (C3-15) 令(),,a IISTξ為第個振態對應之等級II地震水平譜加速度係數，則可得()Y之最大絕對值如下： ()(){}[]{}{}[]{},2max,Ta IITiiimBSTY tmφξωφφ= (C3-16) 欲決定某一物理量（如剪力、彎矩或位移）之最大值，首先需將該物理量()Z表為振態之線性組合： ()()∑==niiYqZ1 (C3-17)
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公路橋梁耐震設計規範解說若阻尼矩陣與質量及勁度成正比，即
則[]C 亦將變為對角矩陣。上式中之1α與
α為常係數，有關此二係數之設定，可由一般結構動力相關書籍查獲而得。
由於[]M ，[]C 和[]K 俱為對角矩陣，因此(C3-7)式代表n個互不相關之方程式：
上式為第i 振態之運動方程式，該式之形式與單自由度系統完全相同，此處
另外，亦可以阻尼比ξ和圓周頻率ω來表示C 和K ，即
ii2此時，可將(C3-9)式改寫成()
()
)
....,,2,1(22iMPtYtYiiiiiiii=++ωξω&&&(C3-15)
令()
,,ia IIiiSTξ為第i個振態對應之等級II地震水平譜加速度係數，則可得()tYi之最大絕對值如下：
()
(){}[]{},2max,Tia IIiiiiTiiimBSTY tmφξωφφ=(C3-16)
欲決定某一物理量（如剪力、彎矩或位移）之最大值，首先需將該物理量()t表為振態之線性組合：
()
()
==niiitYtZ1
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第三章 動力分析方法 75其中iq 為已知之係數。 各振態最大構材內力與變位等須以各種認可的方法加以疊加，其一為SRSS疊加法，其係利用平方和開根號得該物理量之最大值： ()()∑==niitYqZ12max2max (C3-18) 一般而言，SRSS 疊加法適用於結構之各個週期較為分散之系統，如果結構週期極為靠近，則應採用其他改良方法，如CQC 法來疊加。 CQC 法為Complete Quadratic Combination Method 的簡寫，其振態疊加考慮了兩兩振態間的相關性。物理量Z(t)之最大值依CQC 法疊加為： ()()2/111maxmaxmax)()()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑∑==nkkkjkYqYqSZ (C3-19) 式中 ()()()()2222222341418rrrrrrSkkkkjkξξξξξξξξ++++−+= (C3-20) jkrωω= (C3-21) 其中()max)(Yqjj、()max)(Yqkk分別為第 振態及第k 振態最大反應值，jkS為第振態與第k 振態之關係係數。jξ、kξ分別為第 、k 振態的阻尼比，kω、jω分別為第k 、 振態的圓周頻率。 進行多振態反應譜疊加時，對於主軸方向不明確之不規則橋梁，地震輸入方向應多考慮幾個角度，或先作振態分析，由振態形狀尋找真正之主軸方向，以決定水平地震輸入方向。 C3.4 歷時分析法 強地動紀錄之選取，應盡量以能確切反映工址設計地震之地震規模、斷層距離與震源效應的實測地震紀錄為基準，進行模擬與調整以得到與設計反應譜相符之紀錄；地震紀錄模擬之方法，應為具有可信理論之方法或由公信單位所提供之
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第三章 動力分析方法其中iq 為已知之係數。
各振態最大構材內力與變位等須以各種認可的方法加以疊加，其一為SRSS疊加法，其係利用平方和開根號得該物理量之最大值：
()
()
∑==niiit
tZ12max2max(C3-18)
一般而言，SRSS 疊加法適用於結構之各個週期較為分散之系統，如果結構週期極為靠近，則應採用其他改良方法，如CQC 法來疊加。
CQC 法為Complete Quadratic Combination Method 的簡寫，其振態疊加考慮了兩兩振態間的相關性。物理量Z(t)之最大值依CQC 法疊加為：
()
()
2/111max(()
(⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑∑==nnttYqtZ(C3-19)
式中()
()
()
()
2222222341418rrrrrrSkjkjkjjkξξξξξξξξ++++−+=(C3-20)
jkrωω=(C3-21)
)
Yqjj)
Yqkk分別為第j 振態及第k 振態最大反應值，jkS振態與第k 振態之關係係數。
jkξ分別為第j 、k 振態的阻尼比，kj別為第k 、j 振態的圓周頻率。
進行多振態反應譜疊加時，對於主軸方向不明確之不規則橋梁，地震輸入方向應多考慮幾個角度，或先作振態分析，由振態形狀尋找真正之主軸方向，以決定水平地震輸入方向。
C3.4 歷時分析法強地動紀錄之選取，應盡量以能確切反映工址設計地震之地震規模、斷層距離與震源效應的實測地震紀錄為基準，進行模擬與調整以得到與設計反應譜相符之紀錄；地震紀錄模擬之方法，應為具有可信理論之方法或由公信單位所提供之
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公路橋梁耐震設計規範解說 76方法。在進行與設計反應譜相符之地震紀錄模擬時，不需考量長周期,,0.4a IIII SSS=(或,,0.4a II SSS=、,,0.4a IIIIII SSS=)之限制。 進行線性歷時分析時，應針對任一水平地震紀錄，計算其5%阻尼之反應譜。同時應調整地震紀錄，使得位於0.2T 至1.5T 週期範圍內任一點譜加速度值不低於設計譜加速度值之90%，且於此週期範圍內之平均值不低於設計譜加速度值之平均值，其中T 為橋梁所考慮方向之基本振態之振動週期。 為考量短週期結構與土壤互制後之阻尼比較高，以等級 地震為例，分析時可依靜力分析所得,,/a IIu IISF值求得等效之阻尼比來進行分析，等效阻尼比可依下式計算： ,,,,,,,,5 %;/0.3(16/0.2 )% ;0.3/0.813 %;/0.8a IIu IIa IIu IIa IIu IIa IIu IISFSFSFSFξ⎧≤⎪=+<<⎨⎪≥⎩ (C3-22) 非線性歷時分析之輸入地震紀錄振幅需先乘以用途係數 值後，再進行分析；結構構材之非線性分析模型，在降伏強度、破壞機制及遲滯行為各方面皆需要能確切反映出構材真實之非線性行為；非線性歷時分析之結果除須檢核整體結構之韌性需求是否小於規定之容許韌性容量外，還需要考量各構材之韌性需求是否妥當。 為達到有效的歷時數學運算成果，宜慎選適當之時間增量逐步分析。輸入地震之加速度歷時應依規範3.4.1 節地震歷時擇取。 C3.5 垂直地震效應 地震震央可能發生於陸地，為提升橋梁抵抗淺層地震之耐震能力，垂直地震力應做適當之考量，垂直向不規則之橋梁振動單元應依動力分析方法作耐震性檢核。 進行動力分析時，各方向地震效應之組合方式與靜力分析相同，解說詳見C2.7 節。
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公路橋梁耐震設計規範解說方法。在進行與設計反應譜相符之地震紀錄模擬時，不需考量長周期
進行線性歷時分析時，應針對任一水平地震紀錄，計算其5%阻尼之反應譜。
同時應調整地震紀錄，使得位於0.2T 至1.5T 週期範圍內任一點譜加速度值不低於設計譜加速度值之90%，且於此週期範圍內之平均值不低於設計譜加速度值之平均值，其中T 為橋梁所考慮方向之基本振態之振動週期。
為考量短週期結構與土壤互制後之阻尼比較高，以等級II 地震為例，分析時可依靜力分析所得
值求得等效之阻尼比來進行分析，等效阻尼比可依下式計算：
,,/a IIu IIF非線性歷時分析之輸入地震紀錄振幅需先乘以用途係數I 值後，再進行分析；
結構構材之非線性分析模型，在降伏強度、破壞機制及遲滯行為各方面皆需要能確切反映出構材真實之非線性行為；非線性歷時分析之結果除須檢核整體結構之韌性需求是否小於規定之容許韌性容量外，還需要考量各構材之韌性需求是否妥當。
為達到有效的歷時數學運算成果，宜慎選適當之時間增量逐步分析。輸入地震之加速度歷時應依規範3.4.1 節地震歷時擇取。
C3.5 垂直地震效應地震震央可能發生於陸地，為提升橋梁抵抗淺層地震之耐震能力，垂直地震力應做適當之考量，垂直向不規則之橋梁振動單元應依動力分析方法作耐震性檢核。
進行動力分析時，各方向地震效應之組合方式與靜力分析相同，解說詳見C2.7 節。